很快，蔡鹏的报告会便开始了。
微分方程维数多项式的最小微分计算难题在数学界并不算很出名，不过它却是一个‘基础性’的难题。
它的解决，不仅仅是在爱因斯坦‘物理场’的偏微分方程组的强度概念得到了一种新的方法，也涉及到了几何、代数、统计学等数学学科的发展。
此外，多项式也是一个重要的概念，可以用来推导许多概念。
例如，对称性的概念可以从多项式的系数的对称性关系中推导出来，而在微积分中，积分和微分的的概念也可以从多项式的形式和变化规律中推导出来。
整体上来说，它的解答将会是微分代数学及其应用的一个重要的进展，对数学的影响还是相当大的。
.......
报告台上，蔡鹏从一开始的紧张生疏，到慢慢的开始流畅，再到越来越得心应手，第一次在这种国际大会上做报告的紧张感也随之褪去。
看着蔡鹏，徐川赞许的点了点头。
虽然这位学生曾经在数学上走了不少的弯路，但当他真正进入自己感兴趣和有天赋的领域时，爆发出来的潜力还是相当不错的。
另一边，报告厅中角落中，看着在台上坐着报告的蔡鹏，已经成功成教授升职担任南大数院主任的周海教授忍不住有些感慨。
“没想到这小子跟着他后，也走到了今天这个高度。”
一旁，数院的院长荣志专笑着道：“蔡鹏也是个天才，只是以前没有找到自己合适的领域而已，现在进入了合适的专业，再加上徐院士的培养，有这份成就也不奇怪。”
“说起来，能够证明微分方程维数多项式的最小微分难题，他也应该要毕业了吧。”
“等报告会结束后，可以拉到咱们学校担任数学教授啊，这也是个很优秀的的人才，正好数院前两年改系成院了，急缺优秀的教授。”
周海笑着道：“拉他过来任职已经不难，毕竟徐院士也还在这里，相信蔡鹏也愿意，等会去找他聊聊好了。”
顿了顿，他似乎是想到了什么，有些感慨的接着道：“也不知道这小子有没有机会为咱们国家，为咱们南大再拿一枚菲尔兹奖回来。”
截止到目前，真正由华国籍学者拿到的菲尔兹奖奖章，也就徐川一枚而已。
想到之前获奖的阿米莉亚，他也不由自主的希望自己曾经的这个学生能够捧回来一枚菲尔兹奖。
毕竟，这可是数学界至高无上的荣耀。
一旁，荣志专笑着道：“有机会的，如果我没记错的话，他今年好像也还不到三十。在的微分方程和多项式领域就已经做出来了成果，如果能解决掉剩下的最小微分维数多项式计算，希望还是很大的。”
.......
半个小时过去了，报告会逐渐进入尾声。
最后一项算式报告完成后，蔡鹏长舒了一口，不过很快又将精力集中了起来，全神贯注的不敢有丝毫的松懈。
因为接下来的提问环节，才是整场报告会的核心部分。
尤其是他这种证明了一个阶段性成果，但还没有通过同行评审的，想必会有不少的同行心中有着疑惑。
首先提问的，是来自加州大学的陶哲轩教授。
在数学界，俗话说，没有陶哲轩捧场的数学问题和证明是不合格的，而这位被誉为新生代的‘全能数学家’起身之后，简短的开口了。
“我注意到第十一页第六行的表达式，有一行表述很有意思，若R，R[x]为凝聚环，则1
“第十一页第六行吗？”
蔡鹏翻了翻论文，开口道：“由引理1.4进行推导，任意环 R的表现维数不为1，限定 FPD(R)=0及1
“谢谢。”
在听完了蔡鹏的陈述之后，陶哲轩赞许地点了点头，很不错的一个苗子，不，应该可以称之为‘数学家’了。
毕竟解决了微分方程维数多项式的最小微分计算难题的一部分，足够担得起一名数学家的称号了。
陶哲轩的的提问结束之后，提问环节继续进行着。
十五分钟的提问时间并不长，不可能照顾到所有人。不过对于蔡鹏来说，他只要解决了坐在前排的那些大佬心中的疑惑，这场报告会也就成功了。
继陶哲轩之后，几名微分方程和多项式领域的大佬也纷纷站出来提了几个问题，最终都得到了完美的解释。
总的来说，这场报告会还是相当顺利的。
......
“教授，我做到了！”
开完报告会后，蔡鹏迅速的跑了过来，一脸的兴奋。
徐川拍了拍他的肩膀，笑道：“很精彩的报告，很不错。希望你能在未来的数学道路上更进一层勇攀高峰！”
蔡鹏坚定的点了点头，认真道：“我会的，教授！”
徐川笑着道：“加油。”
对于站在教授的身份上来说，没有什么比看着自己教导的学生一步步的茁壮成长起来更有成就感了。
无论是之前的谷炳和阿米莉亚，亦或者现在的蔡鹏，还是正在跟随着他学习的丁瑞、童扬等人。
看着一批批的学生从他手中成长起来，真是有一种老父亲般的欣慰。
......
国际数学家大会的核心永远都在学术交流上，20个分组，不同领域的学术报告在大会期间涌现了一大批精彩的论文和报告。
这章没有结束，请点击下一页继续阅读！大会期间，徐川的收获亦是相当的丰盛，无论是高斯奖还是菲尔兹奖特别奖，都是人生的崭新成就。
当然，更重要的还是在学术上的收获。
时空洞相关的理论已经有了足够的思路正在完善中，以前相对较少触及的数论和纯粹数学领域在这次的报告会上也看到了一批精彩的报告和论文。
时间过的很快，眨眼间，这一届国际数学家大会也来到了最后一天。
有关于杨-米尔斯质量间隙的报告，将是这一届数学大会中最为盛大的一场。
为了满足前来听取报告会的学者，不仅仅是数学家，还有众多物理学家们的需求，组织大会的IMU委员会特意将报告放到了主持大会开幕式的超大型报告厅中。
容纳超过三千人同时入座，但在此刻依旧被塞的满满当当。
可以说绝大部分参加这一届大会的学者，这会都到场了。
不仅如此，还有很多之前对数学大会并不怎么感兴趣的物理学家，也在这一天从世界各地赶了过来。
所有人都热切的注视着报告台，目光落在了上面站着的那个年轻身影上。
若是一名普通人或者一名普通的学者站在这里，面对着台下黑压压的人头，面对着这庞大压力，恐怕会紧张到连话都说不出口。
但对于已经习惯了这种大型报告会的徐川而言，这并不是什么值得让他心跳加速的场景。
对于他来说，无论是上台做报告也好，还是回答那些提问者心中的疑惑，这并没有多少的难度。
毕竟，这已经不是他第一次站在这样的舞台上面对整个世界的学者了，也不是第一次解决这样的难题了。
回应着全场听众的视线，站在报台上的徐川缓缓的开口了。
“关于杨-米尔斯质量间隙难题，相信各位在来这里之前，已经读过了我的论文了。所以我也就不浪费诸位的时间了。”
顿了顿，他接着道：“对于论文中的证明过程，我会重新做一遍简单的阐述，并且详细讲明我在证明这个问题时所用到的一些思路。”
“如果仍然有存在疑问的地方，可以在最后的提问环节指出，我会留出足够的时间给你们的。”
说着，徐川点开了早已经准备好的PPT，将其投映在了身后偌大的荧幕上。
《对于任意的、紧的单群G，在 R4上存在以G为规范群的有质量的量子杨-米尔斯（Yang-Mills）场，并且有质量间隙?> 0！》
图片上的标题很长，但这是对杨-米尔斯存在性和质量间隙问题最好的回应。
看着身侧的荧幕，徐川开始按部就班的讲解着。
“......设规范场的所有空间导数A = A(t，x k )消失得比xk的任何次方都快 xk作为xk xk→∞，均匀分布，关于有界t。(这个条件不依赖于洛伦兹坐标系统。)设AdG表示这种规范场的局部李代数，G表示相应的无限维局部李群....”
【?tAk = Ek，?tEk =?jFjk?[Aj，Fjk]， Fjk =?jAk??kAj?[Aj，Ak]......】
“在这里，引入在高维的流形上的可微结构的不变性耦合子，通过特征化定理，S-变换是(C)的拓扑线性同构.....”
报告台上，徐川对照着身后的PPT，讲解着杨-米尔斯质量间隙的证明步骤和关键节点。
时间一点一点的过去，当最后一项数学公式完成的时候的，徐川转头看向了报告厅，目光在人群中扫视了一圈后，他缓缓开口了。
“关于杨-米尔斯存在性和质量间隙难题，我想我们已经得到了充分的答案。那些基于杨—米尔斯方程的预言和物质的波粒二象性都能够描述基本粒子的客观存在性，我们已经能够用数学新观念来具体解释。”
“相信这会增加我们对物质本质的理解，也会是我们通过数学，通过物理学理解宇宙而进行的长期探索中重要一步。”
“我的报告到此结束，感谢大家的倾听。”
话音落下的瞬间，掌声如同潮水一般从前排向后排扩散，顷刻间充斥了整个报告会的现场。
坐在德利涅身边，爱德华·威滕一边鼓着掌的一边笑着开口，语气带着些感慨：“又一史诗级的难题在他手上落幕了。”
看着站在报告台上的那道年轻身影，德利涅点了点头，道：“的确，在如今的数学界，除非有人完成了黎曼猜想，做到了代数与几何的统一，否则恐怕没有哪个人能超越他了。”
威腾笑着道：“他不是对黎曼猜想已经感兴趣了吗？如果他要是再干掉了这个难题呢，会怎样？”
听到这个问题，德利涅扭头看了眼这位好友，思索了片刻后，开口道：“如果他解决了黎曼猜想，完成了代数与几何的统一，在数学界的地位恐怕已经不是我能够评价的了。”
顿了顿，他补充了一句：“至少，他将彻底的超越我的导师。”
.........
掌声如潮水般在报告厅中一波接一波的袭来，经久不息。
看着台下的观众，徐川继续开口道：“下面将是提问环节，如果对杨-米尔斯存在性和质量间隙难题的证明有问题的朋友，可以举手进行提问。”
这章没有结束，请点击下一页继续阅读！话落，台下一只只手臂唰的齐齐举了起来，从前排开始，徐川挑选着听众回答疑问。
他原本以为会有不少人对于这一证明有着不少的疑问，但事实上除了一部分的学者外，更多的学者对于强弱电什么时候会统一，他对于其他的千禧年难题感不感兴趣这些报告之外的话题更感兴趣。
至于论文本身，或许是这些提问的学者已经没有了疑惑，亦或许是它已经征服了所有人！
.........
在最后一场杨-米尔斯质量间隙的报告会结束以后，这一届的国际数学家大会也即将落幕。
按照惯例，在闭幕式的沙俄歌剧、古典乐、等闭幕式表演之前，将由国际数学家联盟的秘书长宣布下一届国际数学家大会的举办地址。
这是国际数学家大会上重要程度仅次于菲尔茨奖颁奖的压轴节目，由国际数学联盟委员会从各国各城市名单中进行挑选。
和曾经抢着举办，如今几乎“无人申办”奥运会不同，国际数学家大会理论上来说并不需要申请国和申请城市的支持的。
因为它的经费支出是由国际数学联盟自己支付的，无论是举办的酒店费用还是一些其他的支持，都是内部费用。
当然，一般来说，国际数学家大会无论是选址哪个城市，哪个国家，对应的落址城市都会给
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微分方程维数多项式的最小微分计算难题在数学界并不算很出名，不过它却是一个‘基础性’的难题。
它的解决，不仅仅是在爱因斯坦‘物理场’的偏微分方程组的强度概念得到了一种新的方法，也涉及到了几何、代数、统计学等数学学科的发展。
此外，多项式也是一个重要的概念，可以用来推导许多概念。
例如，对称性的概念可以从多项式的系数的对称性关系中推导出来，而在微积分中，积分和微分的的概念也可以从多项式的形式和变化规律中推导出来。
整体上来说，它的解答将会是微分代数学及其应用的一个重要的进展，对数学的影响还是相当大的。
.......
报告台上，蔡鹏从一开始的紧张生疏，到慢慢的开始流畅，再到越来越得心应手，第一次在这种国际大会上做报告的紧张感也随之褪去。
看着蔡鹏，徐川赞许的点了点头。
虽然这位学生曾经在数学上走了不少的弯路，但当他真正进入自己感兴趣和有天赋的领域时，爆发出来的潜力还是相当不错的。
另一边，报告厅中角落中，看着在台上坐着报告的蔡鹏，已经成功成教授升职担任南大数院主任的周海教授忍不住有些感慨。
“没想到这小子跟着他后，也走到了今天这个高度。”
一旁，数院的院长荣志专笑着道：“蔡鹏也是个天才，只是以前没有找到自己合适的领域而已，现在进入了合适的专业，再加上徐院士的培养，有这份成就也不奇怪。”
“说起来，能够证明微分方程维数多项式的最小微分难题，他也应该要毕业了吧。”
“等报告会结束后，可以拉到咱们学校担任数学教授啊，这也是个很优秀的的人才，正好数院前两年改系成院了，急缺优秀的教授。”
周海笑着道：“拉他过来任职已经不难，毕竟徐院士也还在这里，相信蔡鹏也愿意，等会去找他聊聊好了。”
顿了顿，他似乎是想到了什么，有些感慨的接着道：“也不知道这小子有没有机会为咱们国家，为咱们南大再拿一枚菲尔兹奖回来。”
截止到目前，真正由华国籍学者拿到的菲尔兹奖奖章，也就徐川一枚而已。
想到之前获奖的阿米莉亚，他也不由自主的希望自己曾经的这个学生能够捧回来一枚菲尔兹奖。
毕竟，这可是数学界至高无上的荣耀。
一旁，荣志专笑着道：“有机会的，如果我没记错的话，他今年好像也还不到三十。在的微分方程和多项式领域就已经做出来了成果，如果能解决掉剩下的最小微分维数多项式计算，希望还是很大的。”
.......
半个小时过去了，报告会逐渐进入尾声。
最后一项算式报告完成后，蔡鹏长舒了一口，不过很快又将精力集中了起来，全神贯注的不敢有丝毫的松懈。
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首先提问的，是来自加州大学的陶哲轩教授。
在数学界，俗话说，没有陶哲轩捧场的数学问题和证明是不合格的，而这位被誉为新生代的‘全能数学家’起身之后，简短的开口了。
“我注意到第十一页第六行的表达式，有一行表述很有意思，若R，R[x]为凝聚环，则1
“第十一页第六行吗？”
蔡鹏翻了翻论文，开口道：“由引理1.4进行推导，任意环 R的表现维数不为1，限定 FPD(R)=0及1
“谢谢。”
在听完了蔡鹏的陈述之后，陶哲轩赞许地点了点头，很不错的一个苗子，不，应该可以称之为‘数学家’了。
毕竟解决了微分方程维数多项式的最小微分计算难题的一部分，足够担得起一名数学家的称号了。
陶哲轩的的提问结束之后，提问环节继续进行着。
十五分钟的提问时间并不长，不可能照顾到所有人。不过对于蔡鹏来说，他只要解决了坐在前排的那些大佬心中的疑惑，这场报告会也就成功了。
继陶哲轩之后，几名微分方程和多项式领域的大佬也纷纷站出来提了几个问题，最终都得到了完美的解释。
总的来说，这场报告会还是相当顺利的。
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徐川笑着道：“加油。”
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时空洞相关的理论已经有了足够的思路正在完善中，以前相对较少触及的数论和纯粹数学领域在这次的报告会上也看到了一批精彩的报告和论文。
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不仅如此，还有很多之前对数学大会并不怎么感兴趣的物理学家，也在这一天从世界各地赶了过来。
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若是一名普通人或者一名普通的学者站在这里，面对着台下黑压压的人头，面对着这庞大压力，恐怕会紧张到连话都说不出口。
但对于已经习惯了这种大型报告会的徐川而言，这并不是什么值得让他心跳加速的场景。
对于他来说，无论是上台做报告也好，还是回答那些提问者心中的疑惑，这并没有多少的难度。
毕竟，这已经不是他第一次站在这样的舞台上面对整个世界的学者了，也不是第一次解决这样的难题了。
回应着全场听众的视线，站在报台上的徐川缓缓的开口了。
“关于杨-米尔斯质量间隙难题，相信各位在来这里之前，已经读过了我的论文了。所以我也就不浪费诸位的时间了。”
顿了顿，他接着道：“对于论文中的证明过程，我会重新做一遍简单的阐述，并且详细讲明我在证明这个问题时所用到的一些思路。”
“如果仍然有存在疑问的地方，可以在最后的提问环节指出，我会留出足够的时间给你们的。”
说着，徐川点开了早已经准备好的PPT，将其投映在了身后偌大的荧幕上。
《对于任意的、紧的单群G，在 R4上存在以G为规范群的有质量的量子杨-米尔斯（Yang-Mills）场，并且有质量间隙?> 0！》
图片上的标题很长，但这是对杨-米尔斯存在性和质量间隙问题最好的回应。
看着身侧的荧幕，徐川开始按部就班的讲解着。
“......设规范场的所有空间导数A = A(t，x k )消失得比xk的任何次方都快 xk作为xk xk→∞，均匀分布，关于有界t。(这个条件不依赖于洛伦兹坐标系统。)设AdG表示这种规范场的局部李代数，G表示相应的无限维局部李群....”
【?tAk = Ek，?tEk =?jFjk?[Aj，Fjk]， Fjk =?jAk??kAj?[Aj，Ak]......】
“在这里，引入在高维的流形上的可微结构的不变性耦合子，通过特征化定理，S-变换是(C)的拓扑线性同构.....”
报告台上，徐川对照着身后的PPT，讲解着杨-米尔斯质量间隙的证明步骤和关键节点。
时间一点一点的过去，当最后一项数学公式完成的时候的，徐川转头看向了报告厅，目光在人群中扫视了一圈后，他缓缓开口了。
“关于杨-米尔斯存在性和质量间隙难题，我想我们已经得到了充分的答案。那些基于杨—米尔斯方程的预言和物质的波粒二象性都能够描述基本粒子的客观存在性，我们已经能够用数学新观念来具体解释。”
“相信这会增加我们对物质本质的理解，也会是我们通过数学，通过物理学理解宇宙而进行的长期探索中重要一步。”
“我的报告到此结束，感谢大家的倾听。”
话音落下的瞬间，掌声如同潮水一般从前排向后排扩散，顷刻间充斥了整个报告会的现场。
坐在德利涅身边，爱德华·威滕一边鼓着掌的一边笑着开口，语气带着些感慨：“又一史诗级的难题在他手上落幕了。”
看着站在报告台上的那道年轻身影，德利涅点了点头，道：“的确，在如今的数学界，除非有人完成了黎曼猜想，做到了代数与几何的统一，否则恐怕没有哪个人能超越他了。”
威腾笑着道：“他不是对黎曼猜想已经感兴趣了吗？如果他要是再干掉了这个难题呢，会怎样？”
听到这个问题，德利涅扭头看了眼这位好友，思索了片刻后，开口道：“如果他解决了黎曼猜想，完成了代数与几何的统一，在数学界的地位恐怕已经不是我能够评价的了。”
顿了顿，他补充了一句：“至少，他将彻底的超越我的导师。”
.........
掌声如潮水般在报告厅中一波接一波的袭来，经久不息。
看着台下的观众，徐川继续开口道：“下面将是提问环节，如果对杨-米尔斯存在性和质量间隙难题的证明有问题的朋友，可以举手进行提问。”
这章没有结束，请点击下一页继续阅读！话落，台下一只只手臂唰的齐齐举了起来，从前排开始，徐川挑选着听众回答疑问。
他原本以为会有不少人对于这一证明有着不少的疑问，但事实上除了一部分的学者外，更多的学者对于强弱电什么时候会统一，他对于其他的千禧年难题感不感兴趣这些报告之外的话题更感兴趣。
至于论文本身，或许是这些提问的学者已经没有了疑惑，亦或许是它已经征服了所有人！
.........
在最后一场杨-米尔斯质量间隙的报告会结束以后，这一届的国际数学家大会也即将落幕。
按照惯例，在闭幕式的沙俄歌剧、古典乐、等闭幕式表演之前，将由国际数学家联盟的秘书长宣布下一届国际数学家大会的举办地址。
这是国际数学家大会上重要程度仅次于菲尔茨奖颁奖的压轴节目，由国际数学联盟委员会从各国各城市名单中进行挑选。
和曾经抢着举办，如今几乎“无人申办”奥运会不同，国际数学家大会理论上来说并不需要申请国和申请城市的支持的。
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当然，一般来说，国际数学家大会无论是选址哪个城市，哪个国家，对应的落址城市都会给
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